Нули спектрограммы белого шума с окнами Эрмита

Статья даёт вероятностное описание нулей кратковременного преобразования Фурье комплексного белого шума для окон Эрмита. Это фундаментальная работа для методов, которые отделяют сигнал от шума по геометрии нулей спектрограммы: при окнах порядка выше нуля привычная картина полного взаимного отталкивания ломается.

Метод. STFT переводится в полианалитическое преобразование Баргмана. Через формулу Каца–Райса выводятся одно- и двухточечные интенсивности, нули разделяются по знаку якобиана на положительно и отрицательно заряженные. Для численного поиска предложен алгоритм по числу оборотов значения STFT на малой окружности вокруг кандидата.

Результаты. Для порядка n≥1 нули почти наверное просты и изолированы, а процесс инвариантен к переносам и вращениям. Плотности положительных и отрицательных зарядов различаются ровно на 1/π. Парная корреляция при нулевом расстоянии стремится к положительной константе, которая монотонно растёт с n и стремится к 1/4; для гауссова окна n=0 предел нулевой.

Ограничения. Рассматривается идеальный комплексный белый шум, а не реальные речевые смеси и конечные записи. Численное определение заряда чувствительно к интерполяции и радиусу контура: слишком большой круг охватывает несколько нулей, слишком малый нестабилен. Практическая дискриминация сигнал/шум оставлена будущей работе.

Фишка из статьи. Общая парная статистика допускает близкие нули, хотя одинаковые заряды по отдельности сильно отталкиваются.

Как это читать: отсутствие полного отталкивания создают главным образом пары противоположного заряда; пары одинакового знака по-прежнему избегают друг друга на малых расстояниях. Алгоритмам по триангуляции нулей нужно учитывать заряд, иначе окна Эрмита выглядят более «случайными», чем они есть.

Источник: arXiv:2610.13531. Оригинальное название: Zeros of the Spectrogram of White Noise with Hermite Windows.